Distribución de Probabilidad de Poisson: DISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

Distribución Poisson

Notación: X $\sim P(\lambda )$

Llamada así por su autor Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840) . Fue físico matemático francés. Se le conoce, sobre todo, por sus contribuciones teóricas a la electricidad y al magnetismo, aunque también publicó varias obras sobre otros temas, como el cálculo de variaciones, la geometría diferencial y la teoría de la probabilidad. La distribución de Poisson es un caso especial de la distribución binomial en estadística. En la Escuela Politécnica trabajó bajo la influencia del matemático Joseph Louis Lagrange, y en 1802 fue ayudante de Joseph Fourier, cuya cátedra asumió Poisson en 1808. Más tarde fue profesor de mecánica en la Sorbona y un miembro destacado de la sociedad científica francesa. Su primera memoria sobre la electricidad apareció en 1812; en ella adoptó, lo mismo que Charles de Coulomb había hecho antes que él, el modelo de los dos fluidos de la electricidad. Mediante la función potencial de Lagrange intentó calcular matemáticamente la distribución de cargas eléctricas sobre la superficie de los conductores. Poisson demostró en 1824 que estas formulaciones se podían aplicar exactamente igual al magnetismo. Fue injustamente acusado por sus contemporáneos de falta de originalidad. También se interesó por la teoría de la elasticidad; en astronomía trabajó fundamentalmente en la matemática del movimiento de la Luna.

Poisson era un probabilista del siglo XIX, pues fue el primero en describirla. La Distribución Poisson es una generalización de la distribución binomial cuando sobre un

. se define una variable aleatoria

que representa el número de éxitos independientes que ocurren para intervalos de medida específicos ( tiempos, lugares, espacios) , ademas con una probabilidad de ocurrencia pequeña.

Se le llama distribución de los "eventos raros" pues se usa como aproximación a la binomial cuando el tamaño de muestra es grande y la proporción de éxitos es pequeña.

Esos intervalos de medida pueden referirse a: Tiempo: (Segundo, minuto, hora, día, semana, etc.) Área: (Segmento de linea, pulgada cuadrada, Centímetro cuadrado, etc). Volumen: ( Litro, galón, onza, etc.).

Ejemplo

Número de defectos por $m^{2}$ .en piezas similares de un material ..
Número de personas que llegan a un taller automotriz en un lapso de tiempo específico.
Número de impulsos electrónicos errados transmitidos durante espacio de tiempo específico.
Número de llamadas telefónicas que ingresan a un conmutador por minuto.
Número de interrupciones en servicios de energía en intervalos de un dia.
Cantidad de átomos que se desintegran en sustancia radioactiva.
Número de accidentes automovilísticos en un cruce específico durante una semana.

Criterios o propiedades

Se da un intervalo de medida que divide un todo de números reales y donde el contéo de ocurrencias es aleatorio. Esa división puede ser un subintervalo de medida.
El número de ocurrencias ó de resultados en el intervalo ó subintervalo de medida, es independiente de los demás intervalos ó subintervalos. por eso se dice que el proceso de Poisson no tiene memoria.
La probabilidad de que un solo resultado ocurra en un intervalo de medida muy corto ó pequeño es la misma para todos los demás intervalos de igual tamaño y es proporcional a la longitud del mismo ó al tamaño de medida.
La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo ó subintervalo corto es tan pequeña que se considera insignificante (cercana ó igual a cero).

Procesos que se ajustan a estos criterios, se dice, son procesos de Poisson.

Definición

Sea

una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren con igual rapidez en un intervalo de medida. Se tiene entonces que la función de probabilidad de esta variable, se expresa por:

Donde $\lambda$ es parámetro de tendencia central de la distribución y representa el número promedio ó cantidad esperada de ocurrencias (éxitos) del evento aleatorio por unidad de medida ó por muestra;

Número de ocurrencias especificas para el cual se desea conocer la probabilidad respectiva. Segun sea el valor de de $\lambda >0$ , se define toda una familia de probabilidades de Poisson. La probabilidad de que una variable aleatoria de Poisson

sea menor ó igual a un valor de

se halla por la función de distribución acumulativa, planteada entonces como:

Los resultados de las probabilidades individuales para valores de

serán más pequeños conforme la variable aleatoria toma valores cada vez más grandes.

Ejemplos:

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

l = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos

Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución:

a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

l = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416

c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.

l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

Otros ejemplos: http://es.slideshare.net/JoseArmandoReyes/ejercicios-distribucin-poisson?related=2

En Resumen:

La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).

El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de 0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero. De manera análoga, si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número será entero.

El número de vehículos que pasan por una gaceta de cobro en las horas de mayor tráfico sirve como ejemplo para mostrar las características de una distribución de probabilidad de Poisson.

El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico puede estimarse a partir de los datos anteriores del tráfico.

Si dividimos las horas deseadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de arribos de cualquier otro intervalo de un segundo.

Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen nos apoyaremos en una distribución de probabilidad de Poisson para describirlos.

La distribución de Poisson, según se señala, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) . Utilizamos la letra X mayúscula para representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede asumir la X mayúscula.

Parámetros	$\lambda \in (0,\infty)$
Dominio	$k \in \{0,1,2,\ldots\}$
Función de probabilidad(fp)	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
Función de distribución(cdf)	$\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ for }k\ge 0$ (dónde $\Gamma(x, y)$ es
Media	$\lambda\,$
Mediana	$\text{usualmente cerca de }\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor$
Moda	$\left\lceil\lambda \right\rceil-1$
Varianza	$\lambda\,$
Coeficiente de simetría	$\lambda^{-1/2}\,$
Curtosis	$3+\lambda^{-1}\,$
Entropía	$\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}$
Función generadora de momentos(mgf)	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
Función característica	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

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Ver otra información sobre Distribución de Poisson desde Slideshare

http://es.slideshare.net/jcarreto/10-distribucin-de-poisson?related=1

Distribución de Probabilidad de Poisson

viernes, 5 de diciembre de 2014

DISTRIBUCION DE POISSON

Distribución Poisson

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